Qué son los fractales

Cuando Benoit Mandelbrot se graduó de matemática en la universidad, uno de sus colegas le preguntó en qué se especializaría. Este le respondió que en geometría. “¿Geometría? Pero si ahí ya no hay nada que hacer”, le respondió. Varios años después (1975) aparecería su libro “Geometría fractal”, una obra que revolucionó la geometría y la forma de concebir al mundo.

Lamentablemente las teorías y trabajos sobre los fractales no han sido divulgados lo suficiente, restringiéndose su espacio a la literatura especializada. Esto se debe fundamentalmente al grado de complejidad que llevan en sí, lo que hace difícil la explicación a aquellos que no estudian campos como la matemática.

Aunque debemos decir que los fractales no solo se circunscriben al mundo de los números, ellos encuentran aplicaciones en la física, la química, la biología y el arte. Sin embargo, lo específico de los elementos que los conforman han contribuido a que se les considere como una curiosidad matemática que no tiene más relevancia que la del asombro. Pensar así troncha todo un universo de posibilidades investigativas que resultaría muy útil para las más variadas disciplinas.

1. ¿Qué son los fractales?

Si bien fue Mandelbrot quien popularizó y nombró esta nueva disciplina hay todo un referente anterior. Podemos citar, por ejemplo la obra de K. Weierstrass (1815-1897) quien definió, por primera vez, una curva continua no diferenciable. G. Cantor (1845-1918), quien estableció una sucesión de segmentos conocida como "polvo de Cantor". A. Lyapunov (1857-1918), quien abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos. G. Peano (1858-1932), quien diseñó una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano. N. Koch (1815-1897), su aportación más famosa se la conoce como "Copo de nieve". W. Sierpinski (1882-1969), su "triángulo" es, probablemente, el fractal más conocido. Y G. Julia (1893-1978), quien estudió por primera vez la iteración de funciones racionales.

(A medida que avance este trabajo referativo iremos explicando con más detenimiento cada uno de los conceptos anteriormente seleccionados.)

Luego llegaría B. Mandelbrot (1924-2010). Este era investigador de IBM en el Centro de Investigación Thomas J. Watson (EEUU). Allí se interesó por un problema en las comunicaciones en la red de ordenadores de la multinacional informática lBM, que los técnicos no habían podido solucionar. El ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información parecía insalvable; los técnicos podían atenuarlo amplificando la señal, pero siempre aparecían interferencias y con ellas los errores continuos.

Mandelbrot ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, mediante el cual predecía las observaciones, pero no era capaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo. De hecho, en los periodos de aparición que eran seguidos de errores, por reducidos que estos fueran, había siempre periodos de transmisión limpia de ruidos. (Argote, 2004)

Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia, una relación de tipo geométrica, por tanto visual, y que era fácilmente representable en un gráfico de errores. Al analizar los errores aparentemente desordenados de las líneas de datos de IBM comprobó que seguían el conjunto de Cantor y por tanto eran predecibles. Este hecho, que es el origen de los fractales tal como hoy se entiende, abrió las fronteras al mundo fractal.

Desde que estamos en la primaria el tipo de geometría que nos enseñan es la euclidiana. Euclides, sabio griego que sentó sus bases, creó una formalización de la objetos que se observan en la naturaleza a fin de poderlos medir y comprender sus leyes. Debemos decir que inspirados en la misma armonía de esta disciplina se construyó el sistema ptolomeico de interpretación de los movimientos de los astros en el Sistema Solar.

Para Euclides el punto no tiene tamaño (valor cero o nulo), la línea solo tiene longitud (valor uno), una superficie no tiene ancho, por lo que solo tiene dos dimensiones, y un cubo logra alcanzar las tres dimensiones. O sea, que las únicas dimensiones posibles son: 0; 1; 2 y 3. (Braun, 1996)

A esta lógica de razonamiento Mandelbrot respondió: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas no son planas…”.

Veamos un ejemplo clásico: si tomamos un atlas y deseamos medir la distancia que hay entre un punto y otro a lo largo de una costa lo que hacemos es (tal y como se enseña en las clases de geografía) tomar una regla, unimos los dos puntos y los dividimos con la escala del mapa. Debemos advertir que, como se presenta en la naturaleza, esta costa no es una línea recta, y por tanto debemos considerar las irregularidades. Así, lo que corresponde es tomar una regla más pequeña e ir sumando los tramos. Pero, ¿qué sucede si cada vez utilizamos una regla más pequeña? Veremos que el número que calculamos irá en aumento constantemente.

¿Se corresponde entonces los métodos de medición provenientes de la Geometría Euclidiana con la realidad? Obviamente no. Son muchos otros los casos en la naturaleza donde podemos encontrar ejemplos como este. Si miramos a nuestro alrededor encontramos un montón de superficies y formas rugosas que no podríamos calcular con las herramientas que nos ofrece la geometría tradicional.

2. Definición de fractal

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. Esta expresión, así como el concepto, son autoría de Mandelbrot y apareció publicado por primera vez en el año 1975 en un ensayo titulado “Les objets fractales: Forme, hasard et dimension”. En ella nos dice:

“El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado (...), a partir del adjetivo latino “fractus”.

En su libro “The Fractal Geometry of Nature”, publicado en 1982, Mandelbrot define que “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Este concepto no es definitivo, hasta el mismo Mandelbrot reconoce que no incluye algunos conjuntos que, por otras razones, deben incluirse en la categoría de fractales. Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, describe un concepto de estructura fractal „F‟, como aquella que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

_ “F” posee detalle a todas las escalas de observación.

_ No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente.

_ “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.

_ La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica.

_ El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo. (Argote, 2004)

Este mismo autor señala que podríamos aceptar que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos también geométricos de tamaño y orientación variable, que tiene las siguientes características:

_ Autosemejanza a cualquier escala. Un objeto es autosemejante cuando se puede construir a partir de copias de él mismo en menor escala. La propiedad de un fractal de poseer detalle a todas las escalas de observación se completa indicando que un fractal no tiene ninguna escala característica o lo que es lo mismo: todas las escalas son idóneas para representarlo. Un ejemplo ilustrativo que muestra este concepto mediante la realización de un zoom sobre el fractal de Mandelbrot.

_ Dimensión fractal. Los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de sí mismos que se replican indefinidamente a menor escala, generándose una figura que tiene una superficie finita con un perímetro de longitud infinita y con un número infinito de vértices. En el lenguaje matemático del cálculo, diríamos que esta curva no se puede diferenciar.

Así, el concepto de dimensión juega un papel fundamental en la geometría fractal. Pero la dimensión en la mayoría de estas formas no se ajusta a los conceptos tradicionales de la dimensión euclidiana o topológica. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. La dimensión fractal, se puede definir de diferentes maneras, siendo la más rigurosa la de Hausdorff y la más intuitiva y fácil de aplicar es la de semejanza. Antes de definirla se debe señalar dos aspectos importantes relativos a la escala de medición y su relación con la expresión del tamaño y con la dimensión topológica para destacar que:

El valor del tamaño depende del valor de la escala. Los valores de la dimensión topológica son independientes de la escala.

_ Formación por iteración. Los fractales se obtienen a partir de un proceso repetitivo que consiste en la aplicación de una o varias transformaciones geométricas o algunos algoritmos iterativos. Las transformaciones geométricas que se aplican en el proceso iterativo de obtención de los fractales son:

_ Homotecia. _ Giro. _ Traslación.

Estas transformaciones tienen carácter contractivo debido a que el factor de homotecia es siempre menor que 1. La iteración de diversas transformaciones geométricas aplicadas a un objeto arbitrario conduce a figuras fractales similares a fotografías de objetos reales como nubes, helechos, montañas, paisajes. Un ejemplo de este tipo de fractales son los que se denominan SFI (Sistema de Funciones Iteradas).

3. Ejemplos de aplicación en diversas áreas del conocimiento

La Teoría de los Fractales es considerada en los campos de la medicina y la biología, como una herramienta válida y útil para el estudio de fenómenos dinámicos en el cuerpo humano, y permite una aproximación más acorde con la complejidad y la no linealidad de dichos procesos.

Los biólogos utilizan la curva logística para estudiar la evolución de poblaciones en ecología. Los modelos básicos que estudian la evolución de la población de una especie se parecen bastante: una población crece aprovechando las condiciones favorables del medio hasta que su número es tan alto que el medio no puede sustentarla; entonces los fallecimientos superan a los nacimientos y la población decrece hasta un número suficientemente bajo (aquél que el medio puede mantener) comenzando de nuevo el ciclo. Esto responde al comportamiento de sistemas discretos mediante aplicaciones iteradas.

Las aplicaciones iteradas son probablemente el ejemplo más simple de un sistema no lineal. Se construyen eligiendo un número cualquiera como dato de entrada de una función, utilizando el resultado como nuevo dato de entrada de la misma función, y repitiendo el proceso sucesivamente. Las aplicaciones iteradas constituyen la base de muchos fractales. El conjunto de Mandelbrot, por ejemplo, es una aplicación iterada en el plano complejo. La ecuación logística es un modelo simple de población para una especie que no tenga depredadores, pero sí un suministro de alimentos limitado y en representación de los ciclos.

Por otra parte, los modelos fractales se están aplicando en las diferentes parcelas de las ciencias sociales. Los fenómenos sociales y políticos son interpretados muchas veces como dispersión caótica de cosas y sujetos, de prácticas y de economías, y se habla de la ciudad contemporánea como una ciudad "fractal" con distintas escalas el espacio físico, social, económico, institucional, político y cultural, caracterizado por un mismo grado de fragmentación.

También se han aplicado las ideas de los fractales a la economía. Un análisis detallado del comportamiento en el cambio de precio de las mercancías muestra que su estructura es análoga a la de un fractal. Esto se debe a que al cambiar de escalas temporales la determinación de los cambios, se encuentran estructuras similares.

Las figuras económicas son generalmente representaciones de series temporales, y dentro de éstas las más populares son los gráficos relacionados con los mercados financieros de valores, de divisas, de futuros y otros.

Los analistas financieros utilizan para tomar sus decisiones de inversión dos métodos: el análisis fundamental basado en el análisis económico, estudio de la marcha de las empresas, dividendos, rentabilidad... y el análisis técnico mediante el estudio de los gráficos.

En lingüística también se producen estructuras fractales. Se ha estudiado las relaciones que sigue en un idioma la frecuencia en el uso de las palabras. Pues resulta que este comportamiento es fractal. Uno de los parámetros de este fractal da la medida de qué tan rico es el uso del vocabulario a través de la frecuencia relativa del uso de palabras poco comunes.

Las aplicaciones fractales en el campo de la tecnología se circunscriben mayoritariamente en los campos del diseño y compresión de imágenes y en el campo de las telecomunicaciones.

Se ha determinado que los fractales también se dan en la teoría de los circuitos eléctricos y en la teoría de la información, por mencionar sólo algunos campos. Se han abierto de esta manera vastos horizontes de estudio y aplicación que apenas empiezan a explorarse.

Bajo el punto de vista de las artes podríamos decir que un fractal es básicamente la expresión visual o auditiva e incluso espacial (con cualquier tipo de dimensión) de una expresión matemática.

La particularidad de la creación artística con fractales consiste en que el algoritmo de la fórmula nos conduce a una progresión ascendente o descendente de la misma, y a la generación en el caso de imágenes, de expresiones visuales que se repiten y progresan hacia lo infinitamente grande o hacia lo infinitamente pequeño. Sin embargo, el mundo que abren los fractales a la creación artística no se agota en lo anterior, sino que incluso brinda muchos elementos de reflexión para abordar temas como la Teoría del Caos y la aleatoriedad.

Los fractales posibilitan crear nuevos mundos en nuevas dimensiones, jugar con el caos y la aleatoriedad y las posibilidades fascinantes e infinitas que ofrecen. La visualización del mismo concepto del infinito, del todo, de la nada, del Universo. Sin lápices, sin pigmentos, sin soportes, solo con un ordenador y los programas de generación y cálculo.

Sin ordenadores y durante siglos, el ser humano ha utilizado patrones geométricos repetitivos siguiendo modelos fractales como elementos decorativos en vasijas, arquitectura e iluminación de libros. (elementos referenciados de: Argote, 2004)

Referencias bibliográficas

Argote, José Ignacio (2004): Mundo fractal

Braun, Eliezer (1996): “Caos, fractales y cosas raras”. Editorial Ciencia desde México.

Talanquer, Vicente (1996): “Fractus, fracta, fractal. Fractales de laberintos y espejos”. Editorial Ciencia desde México.

Andrey V. Ruslanov / 2014